Esta ecuación te da los poderes para analizar un fluido que fluye de arriba a abajo a través de toda clase de tubos distintos.
¿Qué es el principio de Bernoulli?
El principio de Bernoulli es un enunciado que parece ir en contra de la intuición, acerca de cómo la velocidad de un fluido se relaciona con la presión del fluido. Muchas personas sienten que el principio de Bernoulli no debería de ser correcto, pero esto se debe a un mal entendimiento de lo que dice el principio. El principio de Bernoulli establece lo siguiente:
El principio de Bernoulli: dentro de un flujo horizontal de fluido, los puntos de mayor velocidad del fluido tendrán menor presión que los de menor velocidad.
No tienen que ser horizontal, pero el cambio en la altura del fluido mientras fluye no puede ser muy drástico. De otro modo, los cambios en la energía potencial debida a la fuerza de gravedad se tornarán importantes, y pueden hacer que el principio de Bernoulli se vuelva incorrecto.
El principio de Bernoulli se puede hacer más general si tomas en cuenta la energía potencial debida a la gravedad. El resultado de esto se llama la ecuación de Bernoulli (la cual derivaremos más adelante en este artículo).
Así que dentro de una tubería horizontal de agua que cambia de diámetro, las regiones donde el agua se mueve más rápido se encontrarán a menor presión que las regiones donde se mueve más lento. Esto a muchas personas les parece contrario a la intuición, ya que asocian una gran velocidad con presiones altas. En la siguiente sección, mostraremos que, en realidad, esta es otra manera de decir que el agua irá más rápido si hay más presión detrás de ella que delante de ella. En la siguiente sección vamos a derivar el principio de Bernoulli, vamos a mostrar de manera más precisa qué es lo que dice y, con suerte, lo haremos ver un poco menos misterioso.
¿Cómo puedes derivar el principio de Bernoulli?
Los fluidos incompresibles tienen que aumentar su velocidad cuando alcanzan una sección más estrecha para mantener el volumen de flujo constante. Por esta razón, una boquilla estrecha en una manguera causa que el agua salga más rápido. Puede ser que algo te esté molestando sobre este fenómeno: si el agua se acelera en la constricción, también gana energía cinética. ¿De dónde sale esta energía? ¿De la boquilla? ¿De la tubería?
Sí, si por "hada de la energía" quieres decir "fuente externa de trabajo siendo realizado sobre la porción de fluido".
La única manera de darle energía cinética a algo es haciendo trabajo sobre él. Esto se expresa por el principio del trabajo y la energía.
Así que si una región del fluido aumenta su velocidad, algo externo a esa porción del fluido debe estar haciendo un trabajo sobre ella. ¿Qué fuerza provoca que se haga trabajo sobre el fluido? Bueno, en la mayoría de los sistemas del mundo real hay muchas fuerzas disipativas que podrían estar haciendo un trabajo negativo pero, para mantener las cosas simples, vamos a suponer que estas fuerzas viscosas son despreciables y que tenemos un flujo continuo y perfectamente laminar. Un flujo laminar es significa que el fluido fluye en capas paralelas sin cruzar caminos. En un flujo laminar no hay remolinos ni vórtices en el fluido.
Buena pregunta. Suponer que el fluido no tiene viscosidad, que su flujo es laminar y que no hay turbulencias ni pérdidas de energía por disipación es muy atrevido, y tal vez ahora sea un buen momento para hacerte saber que la dinámica de fluidos es notoria por ser una disciplina difícil de aplicar con precisión en el mundo real tan complicado. La complejidad de una situación del mundo real puede volver difícil el modelar de manera precisa el flujo de un fluido cuando puede haber turbulencia, viscosidad, fricción interna o vórtices.
Horace Lamb, quien en 1895 publicó el influyente libro Hydrodynamics (Hidrodinámica), reconoce las dificultades de la compleja dinámica de fluidos, relativa a otras ramas de la física. Fue citado de manera muy famosa
Para no hacer el cuento largo, aunque el estudio del movimiento de los fluidos ideales requiere suposiciones que podrían no ser satisfechas en muchos casos complejos del mundo real, las teorías derivadas de estas simplificaciones pueden seguir siendo herramientas muy útiles para el análisis cualitativo, para hacer estimaciones, y son un buen punto de partida para describir situaciones más complicadas.
Muy bien, entonces supondremos que no tenemos pérdida de energía debida a fuerzas disipativas. En este caso, ¿qué otras fuerzas podrían estar haciendo trabajo sobre nuestro fluido, acelerándolo? La presión del fluido circundante estará causando una fuerza que puede hacer trabajo y acelerar una porción del fluido.
Considera el diagrama a continuación, que muestra agua que fluye sobre las líneas de flujo, de izquierda a derecha. A medida que el volumen de agua señalado entra en la región constreñida, aumenta su velocidad. La fuerza de la presión
Sabemos que el agua debe acelerar (debido a la ecuación de continuidad), por lo que una cantidad neta positiva de trabajo se realiza sobre ella. Así, la cantidad de trabajo que realiza la fuerza debida a la presión en el lado izquierdo debe ser más grande que la cantidad de trabajo que realiza la fuerza debida a la presión en el lado derecho. Esto significa que la presión en el lado ancho y lento
Muy bien, es un poco más sutil que esto. El trabajo está dado por
Ahora, podrías pensar que dado que la presión
También te podrías preguntar que pasaría si el fluido estuviera fluyendo de derecha a izquierda, hacia la región más ancha. En este caso, el trabajo que realizaría el agua en
Esta relación inversa entre la presión y la velocidad en un punto en un fluido se llama el principio de Bernoulli.
El principio de Bernoulli: en puntos a lo largo de una línea horizontal de flujo, las regiones de mayor presión tienen una menor velocidad del fluido, y las regiones de menor presión tienen una mayor velocidad del fluido.
Conceptualmente, podría ser más simple pensar acerca del principio de Bernoulli como el hecho de que un fluido que fluye de una región de mayor presión a una de menor presión se acelerará debido a la fuerza neta sobre la dirección de movimiento.
La idea de que las regiones donde el fluido se mueve más rápido tendrán menor presión puede parecer extraña. Seguramente, un fluido que se mueve rápidamente y te golpea debe aplicar mayor presión en tu cuerpo que un fluido que se mueve lentamente, ¿cierto? Sí, es cierto. Pero ahora estamos hablando de dos presiones diferentes. La presión a la que se refiere el principio de Bernoulli es la presión interna que el fluido ejerce en todas direcciones durante el flujo, incluyendo la que ejerce sobre la tubería. Esta es diferente de la presión que un fluido ejercerá sobre ti si te pones en su camino y detienes su movimiento.
Imagina que unos bomberos rocían un edificio con un flujo laminar constante de agua que sale de una manguera. La presión que existe dentro de la corriente de agua (que empuja hacia afuera contra la presión del aire) conforme vuela al edificio es diferente a la presión causada por el agua que golpea el edificio y cambia su momento lineal debido al choque.
Observa que el principio de Bernoulli no dice que un fluido que se mueve rápidamente no puede tener presiones significativamente altas. Solo dice que la presión en una región más lenta de ese mismo sistema que fluye debe tener una presión más alta que la región que se mueve más rápido.
¿Qué es la ecuación de Bernoulli?
La ecuación de Bernoulli es esencialmente una manera matemática de expresar el principio de Bernoulli de forma más general, tomando en cuenta cambios en la energía potencial debida a la gravedad. Derivaremos esta ecuación en la siguiente sección, pero antes de hacerlo miremos cómo es la ecuación de Bernoulli, desarrollemos una idea de lo que dice y veamos cómo podemos usarla.
La ecuación de Bernoulli relaciona la presión, la velocidad y la altura de dos puntos cualesquiera (1 y 2) en un fluido con flujo laminar constante de densidad
Las variables
Cuando usas la ecuación de Bernoulli, ¿cómo sabes dónde escoger tus puntos? Tienes que seleccionar uno de los puntos en donde quieres determinar una variable desconocida. De otro modo, ¿cómo podrás resolver la ecuación para esa variable? Típicamente, escogerás el segundo punto en una posición donde se te ha dado alguna información o donde el fluido está abierto a la atmósfera, ya que la presión absoluta ahí es la presión atmosférica
Observa que la
Los términos
¿Cómo puedes derivar la ecuación de Bernoulli?
Considera el diagrama siguiente, donde el agua fluye de izquierda a derecha en una tubería que cambia tanto su área como su altura. Como antes, el agua se acelerará y ganará energía cinética
Sí, pero están íntimamente relacionados. El principio de Bernoulli es un resultado de la ecuación, que es más general, llamada ecuación de Bernoulli, para casos donde la altura del fluido no cambia de forma significativa.
En la siguiente sección, después de derivar la ecuación de Bernoulli, mostraremos cómo el principio de Bernoulli es consecuencia de la ecuación de Bernoulli.
Supongamos que el sistema energético que estamos considerando se compone de los volúmenes de agua 1 y 2, así como de todo el fluido entre esos dos volúmenes. Si suponemos que el fluido no es viscoso, su flujo es laminar y no hay fuerzas disipativas que lo afecten, entonces cualquier energía extra
Hay dos maneras de proceder con esta derivación. Puedes decir que la fuerza de gravedad hace un trabajo externo sobre el fluido, en cuyo caso no dirías que el sistema incluye la energía potencial debida a la gravedad entre el agua y la Tierra.
O, al escoger la convención que tenemos aquí, puedes decir que nuestro sistema incluye la energía potencial debida a la gravedad entre el agua y la Tierra, en cuyo caso el trabajo realizado por la fuerza de gravedad es interno al sistema, en vez de externo. Como el trabajo hecho por la gravedad es interno, no afecta la energía total
Podemos expresar este hecho de forma matemática como,
Primero trataremos de encontrar el trabajo externo
Por simplicidad, consideraremos el caso en que la fuerza debida a la presión del agua a la izquierda del volumen 1 empuja al volumen 1 a través de todo su ancho
Podemos encontrar el trabajo con la expresión
La fuerza debida a la presión
Del mismo modo, la fuerza debida a la presión
Quizá te estés preguntando en dónde quedó el término
Al sustituir estas expresiones para el trabajo en el lado izquierdo de nuestra fórmula de energía-trabajo
Pero los términos
Con eso terminamos el lado izquierdo. Ahora tenemos que trabajar sobre el lado derecho de esta ecuación. Esta es una parte sutil y crucial de la derivación. Recuerda que nuestro sistema no solo incluye las porciones sombreadas de agua cerca de los puntos 1 y 2, sino también toda el agua entre esos dos puntos. ¿Cómo podremos dar cuenta de todo el cambio en la energía cinética y la energía potencial debida a la gravedad de todas las partes de ese sistema tan grande y enredado?
Bueno, tenemos que hacer una suposición más antes de terminar la derivación. Vamos a suponer que el flujo del fluido es constante. Por "flujo constante" nos referimos a que la velocidad del fluido que pasa por un punto particular de la tubería no cambia. En otras palabras, si te pararas y observaras cualquier sección particular de la tubería transparente, verías agua nueva pasarte en todo momento, pero si el flujo es constante, entonces toda el agua tendría la misma velocidad cuando pase ese punto particular.
No, no significa eso. Las moléculas de agua cambian de velocidad cuando se mueven a través de la tubería. Para un flujo constante, solo estamos diciendo que esos cambios serán los mismos para cualquier molécula de agua que viaja por la línea de flujo.
Si el flujo no fuera constante, los cambios en la velocidad que atravesarían las moléculas de agua al recorrer la tubería serían diferentes de los de futuras moléculas que la recorran. Esto podría suceder si el flujo del fluido fuera causado por una bomba que suministrara al sistema una presión variable en el tiempo.
Entonces, ¿cómo es que la idea de flujo constante nos ayuda a determinar el cambio en la energía del sistema grande y enredado? Considera el siguiente diagrama. Nuestro sistema de energía consiste del fluido ensombrecido (volumen 1, volumen 2 y todo el fluido entre estos). En la primera imagen, el sistema tiene una cantidad de energía total
En general, esto significa que podemos determinar el cambio total en la energía del sistema simplemente considerando las energías de los puntos en los extremos. Es decir, podemos tomar las energías cinética y potencial
Aquí hay otra manera de pensarlo. El agua que rodea nuestro sistema hizo un trabajo sobre el mismo. Esto cambió la energía total de nuestro sistema. Pero cuando observas la configuración final del fluido ves que, convenientemente, las dos regiones de en medio del sistema entre las líneas punteadas tienen exactamente la misma energía
Si esto todavía parece vudú matemático para ti, debes saber que la derivación completa de la ecuación de Bernoulli se puede hacer usando únicamente la ley de Newton, sin mencionar para nada la energía. Las matemáticas se pueden poner un poco complicadas, pero se necesitan hacer menos saltos conceptuales y terminas con exactamente el mismo resultado.
Al sustituir esto en el lado derecho de la ecuación de trabajo-energía
Ahora sustituiremos las fórmulas para la energía cinética
En esta ecuación,
Pero dado que estamos suponiendo que el fluido es incompresible, las masas desplazadas de los volúmenes 1 y 2 deben ser las mismas,
Podemos dividir ambos lados entre
Podemos simplificar esta ecuación al observar que la masa del fluido desplazado dividida entre el volumen del fluido desplazado es la densidad del fluido
Ahora, solo vamos a reorganizar la fórmula usando álgebra para poner todos los términos que se refieren al mismo punto en el espacio en el mismo lado de la ecuación; así,
Y ahí está, finalmente. ¡Esta es la ecuación de Bernoulli! Dice que si sumas la presión
La densidad de energía es tan solo la forma con la que nos referimos a los términos
Físicamente, la diferencia es que la densidad de energía te dice la densidad de energía en un punto en el espacio, mientras que la energía te dice la energía que existe dentro de un volumen del espacio. Siempre puedes multiplicar o dividir entre el volumen para cambiar de una forma a otra (suponiendo que la densidad es constante a través del volumen que estás considerando).
Podemos ver la ecuación de Bernoulli como una ley de conservación de energía para un fluido en movimiento. Vimos que la ecuación de Bernoulli era el resultado de usar el hecho de que cualquier energía cinética o potencial extra que gana un sistema o fluido es debido al trabajo externo realizado en el sistema por otro fluido no viscoso. Debes tener en mente que tuvimos que hacer muchas suposiciones en el trayecto para que esta derivación funcionara; tuvimos que suponer flujo laminar y ausencia de fuerzas disipativas, ya que de otra manera se hubiera generado energía térmica; tuvimos que suponer flujo constante, pues de otra forma nuestro truco de cancelar las energías en la sección de en medio no hubiera funcionado; tuvimos que suponer incompresibilidad, o de otra forma los volúmenes y las masas no hubieran sido necesariamente iguales.
Ya que la cantidad
Esta constante será diferente para diferentes sistemas de fluidos, pero para un fluido no disipativo que fluye de forma laminar y constante, el valor de
¿Cómo es que el principio de Bernoulli resulta de la ecuación de Bernoulli?
Aquí debemos observar que el principio de Bernoulli está contenido en la ecuación de Bernoulli. Si empezamos con,
y suponemos que no hay cambios en la altura del fluido, los términos
Si la altura del fluido no cambia, entonces
Ahora, si restamos
O lo podemos escribir como,
Esta fórmula resalta el principio de Bernoulli, ya que si la velocidad
¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran la ecuación de Bernoulli?
Ejemplo 1: planos para cerveza de raíz
Eres dueño de un restaurante y estás investigando nuevas formas de entregar bebidas a tus clientes. Una propuesta es una tubería que llevará cerveza de raíz de densidad
Usa la ecuación de Bernoulli para determinar la presión manométrica en el punto 2.
En este punto debemos escoger la altura
Nos podemos deshacer del término con el cero y sustituir los valores numéricos de las otras variables para obtener,
Nota: sabemos que esta es la presión manométrica en el punto 2, y no la presión absoluta, ya que sustituimos la presión manométrica para la presión 1. Si hubiéramos querido la presión absoluta, podríamos sumarle la presión atmosférica
Ejemplo 2: ingeniería de una fuente de agua
Un hotel muy grande te pide que construyas una fuente de agua alimentada por una tubería cilíndrica de
¿Cuánta presión manométrica se requiere en la tubería horizontal para esta fuente?
Estos problemas de la ecuación de Bernoulli son complicados, así que deberíamos dibujar un diagrama de la situación y escoger dos puntos de interés (este diagrama no está a escala).
Escogeremos el punto cerca del fondo de la tubería como el punto 1, ya que es donde queremos determinar la presión, y escogeremos la parte más alta de la tubería, donde el agua emerge, como el punto 2, ya que se nos dieron información acerca de la velocidad del agua en este punto.
No sabemos la velocidad del agua en el punto 1. Necesitaremos determinar la velocidad
Podemos hacer esto usando la ecuación de continuidad
Cuando resolvemos esta ecuación para la velocidad
Al sustituir los radios de las tuberías podemos resolver para la velocidad en el punto 1 y obtener
Como los cuadrados de los radios están divididos uno entre el otro, las unidades se cancelarán, y te quedarás con una proporción pura que multiplica a la velocidad
De hecho, ya que estamos hablando de esto, ni siquiera teníamos que convertir los diámetros a radios, ya que el factor extra de 2 en la relación
Ahora que tenemos la velocidad en el punto 1, podemos sustituirla en nuestra ecuación de Bernoulli reorganizada para obtener,
Podemos escoger la recta de referencia
Como escogimos el punto 1 como el punto de referencia donde
También podríamos haber escogido el suelo como
Al sustituir esto en nuestra ecuación de Bernoulli reorganizada, el término
Todo lo que tenemos que hacer ahora es determinar la presión
Ahora podemos sustituir la densidad del agua
Nota: lo que encontramos fue la presión manométrica, ya que sustituimos