Portada » Clase digital 5. Productos notables: Binomio al cuadrado, Binomio al cubo, Binomios elevados a una potencia superior (Binomio de Newton y Triángulo de Pascal)
Binomio al cuadrado, Binomio al cubo, Binomios elevados a una potencia superior (Binomio de Newton y Triángulo de Pascal)
Introducción
Los productos notables son expresiones algebraicas que se presentan con frecuencia en matemáticas y que pueden ser simplificadas utilizando reglas específicas. Estas expresiones se denominan «notables» debido a que se utilizan con frecuencia en diferentes áreas de las matemáticas, desde el álgebra básica hasta la geometría, la trigonometría y el cálculo.
Entre los productos notables más comunes se encuentran los que involucran binomios, como el binomio al cuadrado, el binomio al cubo y los binomios elevados a una potencia superior, también conocido como binomio de Newton, que son los que abordaremos en esta 5ta sesión.
Es importante conocer estos productos y las reglas que los rigen, ya que pueden simplificar el proceso de resolver ecuaciones, factorizar expresiones y simplificar términos en diferentes áreas de las matemáticas.
Presentaremos las multiplicaciones que se aplican en cada uno de ellos, así como la deducción de la regla que les corresponde.
Sin otro particular, regresemos al trabajo.
Desarrollo del tema
Productos notables
Se le llama productos notables a ciertos productos que tienen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Binomios y polinomios
Recuerda que los binomios son una expresión algebraica formada por dos términos o dos monomios, separados por el signo “+” o “−“. A partir de tres o más términos, o monomios, se les llama polinomios.
Binomios al cuadrado
Un binomio al cuadrado es un producto notable debido a que podemos generalizar el proceso para obtener el resultado. El resultado de un binomio se conoce como trinomio cuadrado perfecto y luce así:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
El trinomio se obtiene de la siguiente manera; primero se coloca el cuadrado del primer término más el doble del producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Cuando el binomio es una resta solo cambia el signo del segundo término del trinomio, por ejemplo:
(3a – 8b)2 = (3a)2 -2(3a)(8b) + (8b)2 = 9a2 -48ab + 64b2
De manera general la regla anterior se puede aplicar para cualquier binomio al cuadrado, sin embargo, se pueden presentar variantes de este binomio al cuadrado como:
(4x + 2y + 3)2
Esta expresión puede ser transformada de la siguiente manera; Digamos que 4x + 2y = z, entonces la expresión puede reescribirse como (z+3)2:
(z + 3)2 = z2 + 2(3z) + 32 = z2+ 6z + 9
Ahora sustituimos z por 4x + 2y:
(4x + 2y)2 + 6(4x + 2y) + 9 = 16x2 + 16xy + 4y2 + 24x + 12y + 9
Otra alternativa es poder determinar una regla a partir de este resultado: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más el doble del producto del primer término por el segundo término, más el doble del producto del primer término por el tercer término, más el doble del producto del segundo término por el tercer término.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(a)(b) + 2(b)(c)+ 2(a)(c)
Existen muchas otras posibilidades, pero la característica de la fórmula es siempre la misma, pero todo dependerá de los signos (operaciones) formadas entre los términos. Te muestro algunos ejemplos:
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Binomio al cubo
El cubo de un binomio o binomio al cubo, es una expresión algebraica, formada por dos términos que se pueden sumar o restar y en la cual las operaciones de (suma o resta) estarán elevadas al cubo.
(a + b)3 (a – b)3
Para elevar un binomio al cubo, nos encontramos con dos opciones:
Suma del cubo de un binomio
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
El cubo de la suma de un binomio es igual a:
- Cubo del primer término,
- Más el triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término,
- Más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término,
- Más el cubo del segundo término.
Ejemplo 1:
(x + 5)3
x3 + 3(x)2(5) + 3(x)(5)2 + 53
x3 + 3(5)x2 + 3(25) + 125
Identifica que para dar solución primero se deben elevar las potencias y posteriormente se resuelven las multiplicaciones.
x3 + 15x2 + 75x + 125
Ejemplo 2:
Resta del cubo de un binomio
El cubo de la resta de un binomio es igual a:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
- Cubo del primer término,
- Menos el triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término,
- Más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término,
- Menos el cubo del segundo término.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Binomio elevado a una potencia superior
Como vimos previamente, el cuadrado y el cubo de un binomio actúan de manera notable, pero cualquier binomio elevado a un exponente actúa de manera notable, veamos las particularidades de estos binomios:
- El resultado de elevar un binomio a una potencia “n” nos entrega un polinomio con una cantidad de factores igual al exponente más 1; si la potencia es 3 tendrá 4 factores, si la potencia es 6 tendrá 7 factores, y así sucesivamente.
- El primer término de izquierda a derecha aparece con una potencia igual que la del binomio y su potencia ira variando de manera decreciente hasta llegar al último término de la expresión, que será de potencia cero.
- En cualquier factor del polinomio podemos sumar el exponente del factor de la izquierda y del factor de la derecha, y nos da igual al exponente del binomio.
- El factor numérico por el cual se multiplica cada factor del polinomio se define según el siguiente triángulo:
Este triángulo es conocido como triángulo de Pascal, el cual no tiene final, y para su elaboración se dispone de tres pasos:
- Agregar uno al inicio y al final de cada renglón.
- Sumar los dos números consecutivos que se encuentran justamente arriba en el renglón superior.
- El segundo número que aparece en el renglón de este triángulo es el mismo que se encuentra como exponente del binomio, y es este renglón el que se debe ocupar para el producto notable.
Ahora que hemos visto cómo se comportan los binomios notables, se puede proponer un proceso adecuado para desarrollar cualquier binomio potenciado:
(a + b)3
1. El desarrollo tendrá (n+1) elementos, esto es, uno más del exponente, por lo que tendrá 4 elementos (3+1) así, el primer paso quedaría de la siguiente manera.
(a + b)3 = ______________ + _______________ + ______________ + ______________
2. Colocamos la primera y la segunda variable en todos y cada uno de los espacios.
(a + b)3 = a + a + a + a
(a + b)3 = ab + ab + ab + ab
3. Empezamos por colocar los exponentes del primer término con la primera variable empezando del exponente máximo en este caso reduciendo uno en cada espacio hasta llegar al último en «0».
(a + b)3 = a3b + a2b + a1b + a0b
4. Ahora continuaremos con la segunda variable del binomio, colocando los exponentes de manera inversa empezando ahora de menor a mayor, en este caso empezando de y sumando uno en cada espacio hasta llegar hasta en el último lugar.
(a + b)3 = a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3
5. Utilizando el triángulo de Pascal, colocamos en cada espacio el número que corresponda al renglón del triángulo con el que se relaciona, en este caso, como el exponente es , utilizamos los números del renglón.
Quedando de la siguiente manera:
6. Por último se eliminan los valores que tengan y en el exponente y en el coeficiente, quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
(2x – 5)2 = (2x)5 – 5(2x)4 (5) + 10(2x)3(5)2 – 10(2x)2(5)3 + 5(2x)(5)4 – (5)5
Al igual que en la regla del binomio al cubo, una vez que se establece la regla, primero se elevan las potencias y posteriormente se realizan las multiplicaciones.
(2x – 5)2 = 32x5 – 25(16x4) + 10(8x3)(25) – 10(4x2)(125) + 10x(625) – 3125
(2x – 5)5 = 32x5 – 400x4 + 2000x3 – 5000x2 + 6250x -3125
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Conclusión
En esta sesión pudimos concluir con los productos notables, desde binomio al cuadrado hasta binomio a la “n” potencia o de potencias superiores, resolviendo con el triángulo de Pascal.
En especial revisamos la suma y diferencia de cubos, El Binomio al Cubo o “Cubo de un Binomio” es una identidad de los Productos Notables, el cual es muy importante aprender sus fórmulas y aplicarlos correctamente en los ejercicios.
Dominar el tema de Binomio al cubo demanda de constante práctica; pero, al final estarás en condiciones de tener éxitos no solo en temas de productos notables sino también en temas venideros como por ejemplo: Factorización y Ecuaciones.
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinitos y simétricos. Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos.
Al igual que las demás operaciones matemáticas, en este caso de los productos notables, podemos decir que su utilidad radica en que nos facilitan algunos procesos matemáticos. Se puede llegar a resultados de manera más rápida solamente tomando en cuenta sus criterios.
Se conoce que al usarlos se puede hallar, por ejemplo, las medidas, las superficies y el cálculo de un área. En el ámbito amplio de la ingeniería puede ayudar a calcular áreas. Se usan con mucha frecuencia cuando se busca aplicar alguna reducción en un determinado proceso matemático. Esto es posible porque al aplicar ciertas reglas, hay pasos que se pueden obviar, haciendo todo el proceso mucho más rápido.
