Bobine [Loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent, notion d'impédance] (2024)

Bobine

Démonstration :

Une bobine parcourue par un courant variable est traversée par un flux magnétique variable; d'après la loi de Lenz, il y apparaît donc une f.é.m. s'opposant aux variations de flux:

\(e=-\frac{d\Phi}{dt}\)

Comme par définition de l'inductance \(L\) de la bobine: \(\Phi = L.i\), nous avons:

\(e=-L\frac{di}{dt}\)

Bobine [Loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent, notion d'impédance] (1)

Si le courant variable parcourant la bobine a pour intensité \(i(t) = I_m \cos \omega t\), alors, comme avec la convention de signe choisie \(u = - e\) , il vient:

\(u(t) =L.\omega.I_m \sin \omega t = L.\omega.I_m \cos ( \omega t + \frac{\pi}{2})\)

or:

\(u(t) = U_m \cos ( \omega t +\varphi)\)

d'où les relations:

\(U_m =L.\omega.I_m; \varphi = \frac{\pi}{2}\)

Dans une bobine, la tension est en avance de \(\frac{\pi}{2}\) sur le courant (ou, ce qui revient au même, le courant est en retard de\(\frac{\pi}{2}\) sur la tension). On dit aussi que la tension est en quadrature avant par rapport au courant.

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Le vecteur représentant la tension a donc une longueur proportionnelle à \(L.\omega.I_m\) et fait un angle de \(\frac{\pi}{2}\) avec le vecteur représentant l'intensité, pris comme origine des phases^[1].

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En notation complexe:

\(\underline i(t)=I_m\textrm{e}^{j\omega t}\)

\(\underline u(t)=L\frac{d\underline i}{dt}=j.L.\omega.I_m\textrm{e}^{j\omega t}=L.\omega.I_m\textrm{e}^{j\omega t}\textrm{e}^{j\frac{\pi}{2}}\)

comme: \(\underline u(t)=U_m\textrm{e}^{j(\omega t+\varphi)}=U_m\textrm{e}^{j\omega t}\textrm{e}^{j\varphi}\), nous avons les relations :

\(U_m = L.\omega.I_m; \varphi = \frac{\pi}{2}\)

à \(t = 0\), le nombre complexe représentant la tension aux bornes^[2] d'une bobine est un point de l'axe imaginaire.